(495)
105 99 23



оплата и доставка

оплата и доставка char.ru



Книги интернет магазинКниги
Рефераты Скачать бесплатноРефераты



Осознанность, где взять счастье

РЕФЕРАТЫ РЕФЕРАТЫ

Разлел: Математика Разлел: Математика

Теория вероятности

найти еще ...
Теория вероятности в примерах и задачах. Гриф УМО университетов РФ Учебники для ВУЗов. Специальная литература Лань Семенчин Е.А.
453 руб
Теория вероятности и математическая статистика. Учебник Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (МГУ) Климов Г.П.
В тексте содержится около 200 задач и поясняющих примеров.
923 руб

Пример: Вероятность приобретения женского платья составляет 0,09. =0,02 (плащи) Какова вероятность, что посетитель купит хотя бы одну из этих вещей? равновероятны, то есть , то равновероятные и противоположные им события q1=q2= =qm, тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий . Два события считаются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события. Такие события (зависимые) имеют место при бесповторном отборе (по схеме невозвращаемого шара), когда отобранная единица обратно в генеральную совокупность не возвращается. С зависимыми событиями связана условная вероятность. Условной вероятностью называется вероятность события Е, исчисленная в предположении, что событие Е1 уже наступило. Пример: Из колоды вынута карта «дама». Какова вероятность, что она будет черной масти. - число исходов благоприятствующих совместному появлению событий Е и Е1, - число исходов благоприятствующих появлению события Е1. Зная числа элементарных исходов всегда можно рассчитать условную вероятность. Пример: Вынута карта красной масти, какова вероятность, что это «дама»? . Непосредственный подсчет условной вероятности требует знания конечного числа исходов, поэтому более приемлемым на практике является расчет условной вероятности по формуле: - вероятность совместного наступления событий Е и Е1; - вероятность наступления события Е1. Данная формула не требует знания конечного числа исходов, хотя является полным аналогом, по сути, предыдущей формуле. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло. Если . Пример: Вероятность брака при поставке женской одежды составляет 0,015. Определить вероятность того, что проверенные наугад 2 платья из партии в 200 шт., окажутся стандартными. q=0,015 =200 Вероятность стандартных платьев Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности первого из них на условные вероятности остальных, исчисленные в предположении, что это и все предшествующие события уже произошли. 6. Следствие теорем сложения и умножения вероятностей. Площадь прямоугольника – это пространство элементарных всех событий. Площадь кругов Е1 и Е2 – числа исходов, благоприятствующих событиям Е1 и Е2. - число исходов, благоприятствующих совместному появлению событий Е1 и Е2. Допустим нас удовлетворяет появление только одного из двух событий Е1 и Е2. Если эти события не совместны, то их пересечение пустое множество (, а вероятность появления Е1 и Е2 несовместимых событий определяется по формуле: . Однако, при совместных событиях нас не удовлетворяет ситуация, когда оба события появляются одновременно. Вероятность такого исхода определяется по теореме умножения вероятностей. Таким образом, вероятность появления событий Е1 и Е2 в общем случае можно рассчитать по формуле: - для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. - для зависимых событий.

Множество возможных исходов в теории вероятности называется пространством элементарных событий. Пространство элементарных событий всегда можно описать числом S=2, S=6. Если обозначить число исходов благоприятствующих событию (E), то вероятность события Е будет выглядеть . Исходя из классического определения вероятности, можно вывести ее основные свойства: 1) Вероятность достоверного события равна 1. 2) Вероятность невозможного события равна 0. 3) Вероятность случайного события находится в пределах от 0 до 1. Классическое определение вероятности связано с непосредственным подсчетом вероятности, требует точного знания числа всех возможных исходов, и удобно для расчета вероятности достаточно простых событий. Расчет вероятности более сложных событий - это сложная задача, требующая определения чисел всех возможных комбинаций появления этих событий. Подобными расчетами занимается специальная наука – комбинаторика. Поэтому на практике часто используется статистическое определение вероятности. Цена, Объем продаж, т Доля в общем объеме продаж руб./кг 15 45 0,45 20 35 0,35 25 20 0,2 100 1,0 Доказано, что при многократном повторении опыта частости довольно устойчивы и колеблятся около некоторого постоянного числа, представляющего собой вероятность события. Таким образом, в условиях массовых испытаний распределение частостей превращается в распределение вероятности случайной перемены. Достоинство статистического определения вероятности в том, что для ее расчета не обязательно знать конечное число исходов. Если классическое определение вероятности осуществляется априори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам). Распределение частостей дискретного ряда, выраженных конечными числами, называется дискретным распределением вероятности. Если осуществляются исследования массовых событий частостей, которые распределяются непрерывно и могут быть выражены какой-либо функцией, называются непрерывным распределением вероятности. На графике такое распределение отражается непрерывной плавной линией, а площадь ограниченная этой линией и осью абсцисс всегда равна 1. 4. Теорема сложения вероятностей. Суммой или объединением событий Е1 и Е2, называют событием Е, состоящим в появлении события Е1 или Е2 или обоих этих событий. Площадь прямоугольника – это пространство элементарных событий (число единственно возможных равновозможных исходов). Площади кругов Е1 и Е2 соответственно – это числа исходов благоприятствующих событиям Е1 и Е2. - число появлений исходов благоприятствующих событиям Е1 или Е2 или обоих этих событий. То есть вероятность появления хотя бы одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий. Данная формула является частным случаем теоремы сложения вероятностей. Доказывается общий случай теоремы методом математической индукции, путем последовательной разбивки сложного события на пары. Пример: По результатам наблюдения за продажей мужских костюмов получены следующие данные о вероятности продажи костюмов разных размеров. Размер 48 50 52 54 56 58 60 Вероятность 0,16 0,22 0,2 0,19 0,07 0,05 0,02 Совокупность единственно возможных событий называется полной группой или полной системой.

Причем подразумевается нефиксированное, а бесконечно большое количество испытаний (. Такая вероятность определяется по формуле Пуассона (альтернативные независимые события). Формула Пуассона выводится из формулы Бернулли и после ряда преобразований выглядит следующим образом , где k – количество раз, которое произойдет редкое событие. Эта формула применяется в прикладных разработках, в теории массового обслуживания (теории очередей), которая используется для расчета оптимального числа точек обслуживания, числа бензоколонок, числа рабочих мест операционистов в банке (такое число, чтобы не было очередей). Кроме того, формула Пуассона применяется в ситуациях, когда не требуется высокая точность расчетов, а вероятность события p не велика. 10. Локальная теорема де Муавра-Лапласа. В 1730 г. формула для приближения расчета значений для случая, когда p=q=0,5 предложил французский математик де Муавр. Позднее в 1783 г. Лаплас обобщил результаты, полученные де Муавром, в своей теореме. Если вероятность p появления события Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность появления события Е в испытаниях равно k раз приближенно равна значению функции: Созданы специальные таблицы значений функции в зависимости от величины . – стандартизированное значение. Пример: Найти вероятность того, что 80 из 1000 приобретут мужскую обувь, если вероятность покупки обуви p=0,11 (по данным из наблюдений за предыдущий период). 1) использована четная степень – функция положительна, то есть Таким образом, только в 404 случаях из 1 млн. ровно 80 из 1000 посетителей приобретут мужскую обувь. 2) Таким образом, в 242 случаях из 10000 ровно 120 из 1000 посетителей приобретут мужскую обувь. 11. Интегральная формула Лапласа. Локальная теорема Лапласа имеет важное значение, однако ее практическое значение ограничено. На практике важно знать вероятность того, что событие Е произойдет число раз, заданное в определенных пределах. Пример: Вероятность приобретения покупателями мужской обуви от 80 до 120 человек из 1000. , то есть, равна сумме вероятностей несовместных событий покупки 1000 посетителей конкретного числа пар обуви в пределах от 80 до 120 пар обуви. Каждое из слагаемых определяется по локальной формуле Лапласа. Высокая трудоемкость задачи очевидна, поэтому рациональным способом решения задачи является интегрирование локальной функции Лапласа. Если вероятность p появления событий Е в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 , то Интегрированная функция описывает распределение вероятности полной группы событий, поэтому ее общая площадь в пределах изменения от равна 1. Поскольку функция асимптотически приближается к оси абсцисс в пределах изменения от считается, что единице равна площадь кривой в пределах ординат . Значения функции даны в приложении 3, они указаны в пределах от – до . Пример: от 80 до 120 Таким образом, в 84 случаях из 100. Складывая и вычитая площади, определенные по таблицам всегда можно получить необходимый результат. 12. Зависимые события. Гипергеометрическое распределение. Для вывода функции гипергеометрического распределения проводятся испытания (выборка) по схеме невозвращающегося шара. В этом случае вероятность появления события Е k-раз в зависимых испытаниях подвергается влиянию не только числа отбираемых единиц , но и численности всей генеральной совокупности .

Поиск Большой энциклопедический словарь (Часть 2, ЛЕОНТЬЕВ - ЯЯТИ)

Важнейшие производные единицы: силы - стен, давления - пьеза, работы стен-метр, или кДж, мощности - кВт. МУАВИЯ I (?-680) - основатель и первый халиф (с 661) династии Омейядов. МУАВР (Moivre) Абрахам де (1667-1754) - английский математик. По происхождению француз. Нашел правило возведения в степень комплексного числа (формула Муавра). В теории вероятностей доказал частный случай т. н. теоремы Лапласа. МУАВРА ФОРМУЛА - формула для нахождения n-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме согласно формуле Муавра,Найдена А. Муавром (1707). МУАР (муаре) (франц. moire) -1) плотная шелковая или полушелковая ткань с разводами, переливающаяся (на свету) различными оттенками. Из муара изготовляют платья, ленты; применяется для отделки.2) Бумага с тисненым узором на поверхности. МУАССАН (Moissan) Анри (1852-1907) - французский химик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1904). Получил (1886) свободный фтор электролизом плавиковой кислоты. Создав электродуговую печь (1892), получил карбиды, бориды, силициды, гидриды многих металлов

Реферат: Шпоры по теории вероятности Шпоры по теории вероятности

Поиск Большой энциклопедический словарь (Часть 2, ЛЕОНТЬЕВ - ЯЯТИ)

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ - функция произвольного аргумента такая, что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания, причем для них существует определенное распределение вероятностей. Понятие случайной функции весьма близко понятию случайного процесса. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ (в теории вероятностей) - событие, которое может при осуществлении данных условий (т. е. при данном испытании) как произойти, так и не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления. Наличие у случайного события определенной вероятности ? (0???1) его появления проявляется в том, что при большом числе испытаний частота появления случайного события оказывается близкой к ?. Напр., как показывают наблюдения, имеется определенная вероятность (0,515) того, что новорожденный будет мальчиком. СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС (вероятностный - или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения

Реферат: Контрольная по теории вероятности Контрольная по теории вероятности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики" Воронеж 2004 г. Вариант – 9. Задача № 1. №№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени . За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р1, второй – с вероятностью р2, третий – с вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице). p1=0,4 p2=0,6 p3=0,9 Решение: Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел, тогда - первый узел был исправен в промежуток времени , - был исправен третий узел. а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда .

Поиск Большой энциклопедический словарь (Часть 2, ЛЕОНТЬЕВ - ЯЯТИ)

Труды по теории функций, теории чисел, теории вероятностей. Государственная премия СССР (1941). ХИНШЕЛВУД (Hinshelwood) Сирил Норман (1897-1967) - английский физикохимик, один из создателей теории цепных реакций, член (1929) и президент (1955-60) Лондонского королевского общества, иностранный член АН СССР (1958). Труды по кинетике и механизмам цепных разветвленных процессов. Нобелевская премия (1956, совместно с Н. Н. Семеновым). ХИОНИТЫ - объединение племен в Ср. Азии в 4-5 вв. ХИОНИЯ Аквилейская (ум. 304) - христианская мученица, пострадала в Аквилее (в Иллирии) вместе со своими сестрами Агапией и Ириной в гонение императора Диоклетиана. Память в Православной церкви 16 (29) апреля, в Католической - 3 апреля. ХИОНИЯ (Фея) Кесарийская (Палестинская) (ум. 308) - христианская мученица, пострадавшая в гонение императора Максимина, сестра мученицы Алевтины. Память в Православной церкви 16 (29) июля. ХИОНОСФЕРА (от греч. chion - снег и сфера) - часть тропосферы, в которой при соприкосновении с земной поверхностью возможно зарождение и существование снежников и ледников

Реферат: Теория вероятностей Теория вероятностей

Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин. 1.Алгебра событий. В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух: Да, оно произошло.

Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники

Реферат: Теория вероятности Теория вероятности

Принимая во внимание определение предела, получаем непрерывна слева в любой точке — любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к На основании аксиомы 3 Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера (теорема об остатке ряда) . Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим , а это означает, что . Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа . Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий или , откуда следует искомая формула. Определение. Будем говорить, что функция распределения , где пределы слева и справа функции распределения из пространства имеет место формула , , согласно свойству 3), получим искомый результат.

Реферат: Теория вероятностей: наука о случайном Теория вероятностей: наука о случайном

Два охотника независимо друг от друга одновременно стреляют по зайцу. Заяц будет убит, если попали оба. Какие у зайца шансы выжить, если первый охотник попадает с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,75? Решение. Рассмотрим два события: А = «в зайца попал 1-й охотник» и В = «в зайца попал 2-й охотник». Нас интересует событие  (т.е. произошло и событие A и событие В). В силу независимости событий, имеем: Это значит, что в 6 случаях из 10 зайца пристрелят. Задача 7. Известно, что на каждые 10 билетов приходится один выигрышный. Какова вероятность выигрыша, если имеется 50 билетов? Решение. По известной нам формуле легко вычислить, что вероятность выигрыша одного билета 0,1; вероятность того, что он не выиграет 0,9. Выигрыши и проигрыши билетов друг от друга независимы. Вероятность того, что не выиграет первый билет 0,9. Вероятность того, что не выиграет второй тоже 0,9. Тогда вероятность того, что не выиграет ни первый, ни второй, по определению независимых событий Точно так же показывается, вероятность того, что не выиграют первые 3 билета, составляет 0,93; а вероятность того, что не выиграют все 50 билетов = 0,950; т.е. приблизительно 0,005.

Реферат: Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе

Эту задачу знаменитый игрок в кости де Мере предложил Паскалю. При решении этой задачи можно использовать наглядный эксперимент, а данные заносить в таблицу. Эксперимент описан выше.

Реферат: Теория вероятности и математическая статистика Теория вероятности и математическая статистика

Нахождение плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин Дискретный случай. Пусть X и Y - две дискретные независимые величины данного испытания и Z=X Y. Возможное значение Z=z=x y всегда представляет сумму двух возможных значений слагаемых X=x и Y=y. По правилу сложения где суммирование распространено на те пары, которые в сумме дают Z. В силу независимости X и Y Приняв во внимание, что y=z-x последняя сумма распространяется не на все значения x, а только на такие, для которых z-x равно одному из возможных значений y. Если условиться, что P(y=z-x)=0, если z-x не принадлежит к числу возможных значений Y, то Аналогично Формулы (1) и (2) определяют композицию величин X и Y. Или Непрерывный случай. Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f(x,y) - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f(x,y) в силу независимости X и Y имеет вид Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z. Для того, чтобы имело место событие действительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q(x,y) попала в область 1. Тогда эта вероятность равна Дифференцируя под знаком интеграла Двумерное нормальное распределение Двумерная случайная величина XY распределена нормально, если ее плотность вероятности f(x,y) имеет вид Свойства двумерного нормального распределения 1. 2. т.е. X и Y имеет одномерное нормальное распределение.

Реферат: Грегор Мендель, горох и теория вероятностей Грегор Мендель, горох и теория вероятностей

После этого он провел скрещивание растений с семядолями разных цветов (у одного – зеленые, у другого – желтые), но в тех же условиях. Это дало ему основания утверждать, что различия, которые проявятся в картине наследования, вызваны различными фенотипами родителей при этих двух скрещиваниях, а не каким-либо другим фактором. Вот какие результаты получил Мендель. У потомков первого поколения от скрещивания растений с желтыми и зелеными семядолями наблюдалось только одно из двух альтернативных проявлений признака – все семена получились с зелеными семядолями. Такое проявление признака, когда наблюдается преимущественно один из вариантов, Мендель назвал доминантным (альтернативное проявление, соответственно, рецессивным), а результат этот получил название закона единообразия гибридов первого поколения, или первого закона Менделя. Во втором поколении, полученном с помощью самоопыления, появились семена как с зелеными, так и с желтыми семядолями, причем в соотношении 3:1.Это соотношение носит название закона расщепления, или второго закона Менделя.Но эксперимент не кончается получением результатов.

Реферат: Аксиоматика теории вероятностей Аксиоматика теории вероятностей

Введение Математика – царица наук. Это выражение в своей жизни слышал, наверное, каждый человек. Образованный юрист тоже должен иметь представление о том, что такое высшая математика. Да, по роду своей деятельности ему не нужно выводить какие-либо формулы, высчитывать интегралы. Но все-таки знать, что такое синусы, косинусы, матрицы и другие математические определения ему необходимо. При этом не следует забывать, что школа дает лишь элементарные математические знания, например, сложение и вычитание, умножение и деление, таблица умножения, то есть то, без чего человек не может обойтись в своей повседневной жизни. Наличие же высшего образования подразумевает под собой нечто большее, в частности, знания по высшей математике. В данной работе мы не будем углубляться в разнообразные математические термины, не станем интегрировать дифференциальные уравнения, высчитывать матрицы. Мы рассмотрим теорию вероятностей, которая, на наш взгляд, наиболее приближена к юридическим наукам, потому что она развивает логическое мышление человека.


Учебное пособие Теория вероятности и математическая статистика. Примеры и задачи. Новое знание Белько И.В.
Приведены решения типовых примеров, а также задания для самостоятельной подготовки.
154 руб
Теория вероятности и математическая статистика. Курс лекций Математика для экономистов: Высшее экономическое образование Эксмо Фадеева Л.Н.
Реальная экономика немыслима без прогнозирования: ожидаемой эффективности инвестиций, выгоды от вложения средств в акции и т. д. Статистические гипотезы, базирующиеся в свою очередь на теории вероятностей, и являются основой экономического прогнозирования.
198 руб
Гриф УМО по классическому университетскому образованию Теория вероятности и математическая статистика. Математика для экономистов: Задачи и упражнения. Высшее экономическое образование Эксмо Фадеева Л.Н.
Издание предназначено для студентов и преподавателей экономических факультетов и ВУЗов.
149 руб
Учебное пособие для ВУЗов Теория вероятности и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Высшее образование Феникс Горелова Г.В.
Рассмотрены основные вопросы теории вероятностей и математической статистики с соответствующими примерами, контрольными и индивидуальными заданиями.
139 руб
Теория вероятности и математическая статистика. Ответы на экзаменационные вопросы Студенту на экзамен Экзамен Крестова А.П.
В предлагаемом издании представлены модельные ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятностей и математической статистике.
103 руб
Математика в экономике. В 3-х частях. Часть 3. Теория вероятности и математическая статистика Финансы и статистика Бабайцев В.А.
Эта книга — завершающая часть учебника «Математика в экономике».
349 руб
Справочное пособие к решению задач. Теория вероятности ТетраСистемс Гусак
Оно поможет при подготовке к практическим занятиям, зачетам и экзаменам, а студентам заочных отделений самостоятельно выполнить контрольные работы.
5 руб
В 4-х частях. Часть 4. Операционное исчисление. Индивидуальные задания по высшей математике. Элементы теории устойчивости. Гриф МО Республики Беларусь Теория вероятности. Вышэйшая школа Рябушко А.П.
Это четвертая, заключительная, книга комплекса учебных пособий по курсу высшей математики, направленных на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов технических ВУЗов.
349 руб
Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие Физматлит Пугачев В.
В последующих пяти главах изложены основы математической статистики: точечное и интервальное оценивание параметров распределений, плотностей и функций распределения, общая теория оценок, метод стохастических аппроксимаций, методы построения статистических моделей.
429 руб
Математика для направлений "Менеджмент", "Экономика" (вечернее отделение) специальностей "Психология", "Управление персоналом". Учебно-методический комплекс. Часть 3: Теория вероятности и математическая статистика Российская академия государственной службы (РАГС)
80 руб

Молочный гриб можно использовать для похудения, восстановления микрофлоры, очищения организмаМолочный гриб можно использовать для похудения, восстановления микрофлоры, очищения организма

(495) 105 99 23

Сайт char.ru это сборник рефератов и книг