Задачи по теории функций действительного переменного

Множина комплексних чисел
Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении правильного -угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на равных частей. Выше было показано, что корень -й степени из единицы имеет точно значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексными. Точки, изображающие корни -й степени из единицы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на равных дуг, т. е. являются вершинами правильного -угольника, вписанного в эту окружность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17- угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы. В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем понятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x iy и w = u iv, где x, y, u, v – действительные переменные, i = - мнимая единица. Зафиксируем две комплексные плоскости Oxy (плоскость z), O'uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D' соответственно (рис. 4). Если каждой точке zD по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка wD', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z).