Цепные дроби

Решение уравнений в целых числах
Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби заменим равной ей дробью . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью Повторяя те же рассуждения для дроби . Выделяя целую часть неправильной дроби Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби . Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда . Из сопоставления полученного равенства с уравнением будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях . Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше. Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей. Рассмотрим несократимую дробь остаток от деления а на b. Тогда получим: - остаток от деления ; точно так же , называются неполными частными.